Народився майбутній художник 10 лютого 1857 року у Вашківцях у родині священика. До освіти Євгена значною мірою долучився його дід по материній лінії Костянтин Луческул – протопресвітер і референт у чернівецькій консисторії. Тож після закінчення гімназії у Чернівцях Євген Максимович переїхав до Відня, де у 1876 році склав вступні іспити до Віденської академії мистецтв. Йому імпонували методи навчання у відомих професорів Вурцінгера, Айзенменгера, Міллера, знайомство з видатним представником німецького академізму Ансельмом Фейєрбахом. Окрилений, він планував продовжити навчання у мистецьких школах Мюнхена й Парижа, але у 1883 році через хворобу діда був змушений повернутися на Буковину і працювати професором реального ліцею у Радівцях.

Пройшов час, важко хворий Епамінонда Бучевський, котрий обіймав посаду штатного художника при резиденції буковинських митрополитів, порадив митрополиту Сильвестру Мораріу свого наступника – талановитого молодого мистця, з яким познайомився ще 1882 року у Відні. А у 1891 році після смерті Е. Бучевського Є. Максимовича призначили на його місце.

Вже через рік художник виборов право на створення монументальної роботи, приуроченої ювілею митрополита С. Мораріу. До цієї дати Євген Максимович створив за принципом ктиторських ікон фреску, на якій зобразив найвидатніших духовних та світських осіб того часу.

Є. Максимович був одним з тих фахівців, хто мав академічну освіту та зі знанням справи підходив до оздоблення храмів, чому в той час консисторія приділяла особливу увагу. Крім дозволу на розписи храмів, художник консисторії став непересічним дослідником буковинської храмової архітектури та мистецтва, займався питаннями історії формування іконографії візантійського живопису. Адже ще під час своїх студій у Відні досконало вивчав історію мистецтв. Це спонукало його досліджувати буковинське храмове будівництво, зокрема в Радівцях, де в околицях багато монументальних споруд. Результатом його праці стала стаття "Наші храми" про стан, збереження та будівництво нових культових споруд.

Своїми публікаціями Євген Максимович продовжив дослідження чеського архітектора, автора проекту споруди резиденції буковинських митрополитів Йозефа Главки, консерватора і професора Карла Ромшторфера, історика Франца Вікенгаузера. Пропонував призначити спеціаліста, який би займався будівництвом храмів у краї, та виділити стипендію одному буковинцю для опанування фаху інженера (архітектора), а на теологічному факультеті викладати історію архітектури та мистецтва "будівництва церков". У щорічнику Буковинського крайового музею за 1893 рік Євген Максимович опублікував ґрунтовне дослідження з історії формування іконографії візантійського живопису "Тип Христа у візантійському мистецтві".

Мистецький доробок Є. Максимовича хоч і невеликий за обсягом, але цікавий і своєрідний. Окрім робіт на релігійні сюжети, у творчій спадщині художника збереглися портрети та оригінальні жанрові картини з життя буковинських селян. Ці полотна – реалістичні, виконані з великою любов'ю. Автор немов би проникає у душі, розкриває людські характери, передає їх настрій. Зокрема, в Чернівецькому краєзнавчому музеї експонуються полотна Є. Максимовича "Два румуни" (1907 р.), "Портрет молодої дівчини" (ІІ пол. ХІХ ст.), "Штефан Великий" (1905 р.).

Помер Євген Максимович 27 квітня 1928 року в чернівецькій лікарні. Похований на християнському кладовищі у Чернівцях поряд з могилою свого брата, відомого архітектора того часу.